Формула сложных процентов: расчет

Сложный процент при расчете доходности вклада

Сложный процент начисления прибыли при размещении денег на срочный банковский депозит дает существенную выгоду по сравнению с простым, особенно в долгосрочной перспективе. Рассмотрим подробно, чем это объясняется.

Любой банковский вклад предполагает, что за пользование вашими средствами, размещенными на счете, банк начисляет вам некоторую долю своей прибыли в виде процентов от суммы вклада.

При этом мы видим, что один и тот же банк, как правило, предлагает целую линейку вкладов. Позиций, по которым различаются условия депозита, несколько, но нас сейчас интересует такая – вклад с капитализацией или без.

Простой вклад предусматривает, что проценты во время всего срока размещения рассчитываются от суммы внесенных вкладчиком денег.

Вклад с капитализацией дает возможность прибавлять к расчетной базе те проценты, которые начислены за определенный срок. Другими словами, положив 100 000 рублей под 6% на депозит с ежемесячной капитализацией, лишь в первый месяц мы получим процентный доход на первоначально вложенную сумму.

Уже со второго месяца доход будет начисляться на увеличенную сумму, сумму плюс процент. В данном примере за месяц сумма вырастет на 500 рублей. Эти деньги прибавятся к вкладу.

Во второй месяц те же 6 процентов будут рассчитываться не от первоначальных 100000 рублей, а уже от 100500 – конечно, доход за второй месяц будет больше, составит уже 502,5 рублей.

Понятно, что каждый месяц начисленные к сумме вклада проценты будут увеличиваться.

Итоговая доходность вклада с капитализацией тем выше, чем дольше срок размещения денег.

Формула расчета сложных процентов

Договоримся обозначать величины так:

• Д – начальная сумма, вложенная в банк, или взятая в кредит;
• С – конечная сумма;
• n — количество периодов начисления процентов. Таким периодом быть год, квартал, месяц — в соответствии с договором;
• X — процентная ставка, за период начисления процентов. Не ставка за год, а именно за тот период, за какой происходит начисление процентов. Например, в договоре указано 12% годовых, а капитализация происходит каждый месяц. Значит, Х в нашем случае равно 1.

Значит, учитывая начисление процентов, мы имеем в конце:

• первого месяца С= Д+Д*X/100,
• второго С= Д+Д*X/100+( (Д+Д*X/100)*X/100),
• третьего С=Д+Д*X/100+( (Д+Д*X/100)*X/100)+( Д+Д*X/100+ (Д+Д*X/100)*X/100)*Х/100.

Таким образом, проведя математические преобразования, формулу сложных процентов по кредиту можно представить в общем случае как:

С= Д*(1+ X/100)n

Внимание! n в данной формуле означает степень числа. Видим, что временная составляющая – количество периодов начисления процентов, является степенью

Это говорит о том, что с течением времени конечная сумма С будет расти все более высокими темпами

Видим, что временная составляющая – количество периодов начисления процентов, является степенью. Это говорит о том, что с течением времени конечная сумма С будет расти все более высокими темпами.

Можно рассчитать, как увеличится вклад при депозите 100 000 под 6% годовых с ежегодной капитализацией на разный срок.

Подставляем в формулу значения для 3 лет, это: 100000*(1+0,06)3 =119101,6 рублей,

для 10 лет: 100000*(1+0,06)10 =179084,74.

Заметно, что в первые годы вклад рос незначительно, среднегодовой доход за первые три года составил 6366,66 рублей.

Если разделить сумму дохода, полученную после 10 лет накопления, то получим большую ежегодную сумму — 7908 рублей.

Еще один интересный расчет – какова разница результата, если рассчитывать итоговую сумму по правилу простого процента в этом же примере? Получаем такие данные:

• 3 года – 100000+(100000/100*6)*3= 118000 рублей.
• 10 лет — 100000+(100000/100*6)*10 = 160000 рублей.

Можно сделать вывод, что при одной и той же базовой процентной ставке депозит под сложный процент выгоднее, а кредит затратнее.

И прослеживается большая зависимость от срока размещения — чем он больше, тем заметнее разница по сравнению с простым процентом.

Дополнительно ознакомьтесь с кратким видео о том, как производится расчет по формуле сложных процентов:

Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты

Погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. – называют потоки платежей.

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой.

Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты — размер отдельного платежа, период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года, ренты делятся на годовые, P — срочные (P – количество выплат в году), непрерывные (много раз в году).

Обобщенные параметры потоков платежей

Анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма –сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей – сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Допустим, имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени, общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставке j, то:

, (15)

Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого счета. Современную стоимость такого потока найдем прямым счетом – как сумму дисконтированных платежей. Обозначив эту величину, как A, получим:

, (16)

где — дисконтный множитель по ставке j.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

(17)

Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Годовая рента

В течении n лет в банк в конце каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член ренты начисляются (n-1) раз, на второй (n-2) и т.д.

.

Если переписать этот ряд в обратном порядке, то получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+ j ) и первым членом R.

, (18)

При начислении процентов m раз в году то:

; (19)

Если платежи осуществляются в начале периодов то

; (20)

При начислении процентов m раз в году то:

; (21)

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

, (22)

Множитель, на который умножается R, называется коэффициентом приведения ренты и обозначается :

При , (23)

В этом случае: , (24)

При дисконтировании m раз в году:

, (25)

Определение срока ренты

P = 1

m = 1

p = 1

m > 1

P > 1

m = 1

m = p

m¹p

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

1. Расчетные значения срока будут дробные. Для годовой ренты в качестве n удобнее принять меньшее ближайшее число. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов.

2. Если округление производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма или современная стоимость ренты оказывается меньше заданной. Возникает необходимость в соответствующей компенсации. Например, если речь идет о погашении задолженности путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующими платежом в начале или конце срока или с повышением суммы члена ренты.

Примеры сложных процентов в инвестициях

Можно смело сказать, что каждый рубль отложенный сегодня принесет десятки рублей через 10 лет за счет постоянного реинвестирования прибыли. Подобным образом разбогатели многие миллиардеры (Уоррен Баффет).

Обратите внимание, что эффект заметен со временем все сильнее и в конце кривая сложных процентов приобретает экспоненциальный характер, в то время как простые растут линейно. Рассмотрим на конкретных примерах этот принцип

2.1. Пример: инвестируем ежемесячно в банк под 8% (срок 10 лет)

Если откладывать ежемесячно по 10 тысяч рублей «под подушку» или просто на банковский счет, то через 10 лет (120 месяцев) сумма будет 1.2 млн. рублей (120 умножаем на 10 тыс).

Если же откладывать эти деньги на банковский вклад под 8% годовых, то сумма по истечению 10 лет будет значительно больше 1 851 738 рублей. Чистый доход от процентов 641 738 (чуть больше 50% за все время). Новички по ошибке могут получить неправильную сумму, если просто прибавить 8% к отложенной сумме, но это неверно. Сложный процент можно посчитать лишь на онлайн калькуляторе или самостоятельно с помощью длительных вычислений.

Расчеты на калькуляторе сложных процентов:

Выписка по балансу:

Примечание

В некоторые периоды можно найти ставку на вкладах гораздо выше 8% и доход был бы в таком случае был заметно больше.

2.2. Пример: инвестируем в банк под 8% (срок 20 лет)

Теперь увеличим срок нашего инвестирования с 10 лет до 20 лет. Мы будем также откладывать по 10 тысяч рублей и всю полученную прибыль реинвестировать. Теперь по истечению срока сумма будет 5 938 760 рублей вместо 2 400 000. Чистый доход от процентов 3 528 760. Эта сумма больше всех суммарных наших вложений в 1.5 раза (150% за все время)!

Это наглядный пример того, что чем больший период мы рассматриваем, тем заметнее будет действие сложных процентов.

2.3. Пример: инвестируем в ценные бумаги под 12% (срок 20 лет)

Последний пример. Откладываем также по 10 тысяч рублей ежемесячно на протяжении 20 лет, но теперь мы инвестируем деньги в акции и небольшую часть в облигации. Как показала реальная история, такой инвестиционный портфель в среднем за год приносит 12% с учетом дивидендов от акций при самой простой стратегии «купи и держи».

Итого, сумма на конец срока: 9 999 681 рублей. Чистый доход 7 589 681 рублей. И это не везение, не фантастика, а очень реальные цифры дохода, которые доступны каждому! По факту, можно даже получить и больше и даже за более короткий срок, если выйти с рынка на его пике, а докупиться в конце цикла падения, но для подобных «маневров» необходимы основы трейдинга и немного времени на совершение торговых операций.

Хочу подчеркнуть, что мы рассмотрели реальные варианты без каких-либо везений и прочее. Такого результата добьется каждый, кто просто вложит в ценные бумаги и не будет дергаться и пытаться что-то еще сделать. Такая стратегия называется: купи и держи.

Примечание

При инвестировании в зарубежные акции доход был бы еще больше (где-то в два раза), поскольку по статистике рубль обесценивается к доллару примерно на 100% каждые 20 лет.

Также важно откладывать в начале как можно больше. Это сильно повышает будущую доходность

Теперь, понимая силу сложных процентов, поговорим о том, во что лучше всего вложить деньги, чтобы получать пассивный доход. Какие конкретно варианты инвестирования существуют, каковы их риски и преимущества можно прочитать:

Виды ставок

Содержание страницы

Чаще всего ставка фигурирует в кредитном договоре и финансовом соглашении. При подписании такого документа заёмщик берёт перед кредитором обязательства по выплате конкретной суммы. Она определяется как отношение процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Называется ставкой, считается в процентах.

Способы начисления процентов бывают разными и зависят от условий контракта. Ставки могут применяться в одной и той же начальной сумме на протяжении всего периода кредитования или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами.

Первый вариант расчётов называется простой процентной ставкой, второй — сложной. Простая ставка действует в отношении одной и той же первоначальной суммы долга на протяжении всего срока, т. е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же (без учёта последовательного её погашения). Такой способ начисления используется в потребительском кредитовании.

Сложная применяется к наращенной сумме кредита, т. е. к сумме, возросшей на величину процентов, начисленных за предыдущий период. Поэтому исходная база постоянно растёт.

Помимо простой и сложной, существует ещё несколько разновидностей ставок. Дополнительно выделяют:

• Фиксированную. Устанавливается в виде конкретного числа в финансовых контрактах.
• Переменную. Дискретно изменяется во времени, не имеет конкретной числовой характеристики.
• Плавающую. Привязывается к определённой величине, изменяющейся во времени, состоит из базы и надбавки к ней (маржи). База представляет собой начальную величину, маржа — переменную, которая зависит от таких условий, как срок операции, финансовое положение заёмщика и пр.

Также в экономике есть понятие номинальных, обыкновенных, точных и реальных процентов. Все они имеют свои особенности.

График платежей по кредиту (с применением формулы сложных процентов)

Исходные данные для расчёта полной стоимости кредита:

Сумма кредита 100 000 руб.

Проценты 36 % годовых

Срок кредитования 24 месяца

Комиссии 0 руб.

Составляем график по банковскому методу:

Сразу предлагаем вам сравнить этот график, рассчитанный по формуле сложных процентов, с графиком платежей того же самого кредита (на тех же условиях), но рассчитанным по формуле простых процентов:

2 графика платежей по одному кредиту-сложные и простые проценты

Рекомендуем не забыть прочитать след. статьи:

Пример расчета с реальным банковским вкладом

Выше мы рассмотрели упрощенные примеры работы сложного процента. На самом деле банки используют немного усложненную формулу.

Ставка процентов представляется как

Формула универсальная и позволяет сделать вычисление для разных типов депозитов. Таким образом, наша основная формула стала чуть-чуть сложнее:

Математическое понятие «геометрическая прогрессия» помогает работать банковскому вкладу с капитализацией гораздо более эффективно, чем без капитализации. Человеческий мозг не всегда может представить разницу или она поначалу ему кажется не существенной. В действительности, на значительных отрезках времени сложный процент начинает играть огромную роль при построении капитала.

Вспомогательные формул расчета сложных процентов

Из формулы, которую мы использовали раньше, можно получить несколько других, которые могут пригодиться инвестору при решении финансовых задач.

Например, иногда нужно найти не финальный, а начальный капитал.

Идем дальше. Давайте представим ситуацию – инвестор хочет вложить деньги на определенный срок. И он рассчитывает по итогам достичь определенной суммы капитала. Какую процентную ставку ему нужно получить?

Чтобы это узнать, для расчета нам нужна формула сложных процентов для средней процентной ставки:

Что там можно еще найти? Ах, да – сколько нужно времени, чтобы получить определенную сумму при определенной ставке. Давайте попробуем 🙂

Если в прошлом примере у нас были корни, то теперь – логарифмы. Формулы кажутся огромными, но на самом деле их легко реализовать в программе. Чтобы рассчитать сложный процент, формула Excel нужна для одной ячейки – вот и выражаем одно через все остальное. И работает это отлично!

Итак, мы будем использовать такую формулу:

Кстати, опытных инвесторов часто интересует не на сколько, когда и как вырастет капитал. Их больше интересует, когда деньги удвоятся. Другими словами – через сколько они «отобьют» вложения.

Чтобы это узнать, существует универсальное «правило 72». Суть его простая – делите 72 на процентную ставку за месяц (квартал, год). Результат – это и есть тот срок, за который инвестиции удвоятся (в тех же единицах времени, что и ставка доходности).

Вложения под 6% в месяц дают удвоение капитала за год. Под 3% — за 2 года.

Основная формула сложных процентов

В следующей формуле мы используем немного другую запись, более удобную для работы с процентами.

где:

• X – конечный результат накопления
• X – первоначальное значение, стартовый взнос
• r – коэффициент увеличения, процентная ставка
• n – число периодов накопления

r — всегда положительное число, на практике обычно небольшое. Что может дать нам эта формула? С ее помощью мы можем рассчитать довольно много вещей, но лучше начать с самого простого.

Пусть банк, которому мы доверяем, предложил сделать вклад под 8,5% годовых. Это означает, что каждый год наш капитал будет увеличиваться на 8,5%.

Некоторые люди наивно полагают (до сих пор есть такие!), что при увеличении вклада речь всегда идет только о первоначальном взносе, за которым идет прямое пропорциональное увеличение, не зависящее от времени (простые проценты). Этим пользуются и жулики. Например, Карл Маркс однажды использовал такую махинацию для обмана миллионов людей, со всеми последствиями, которые мы знаем. Но это другая и большая тема. В действительности банки используют как простые проценты, так и сложные для разных вкладов и кредитов.

На самом деле, наш капитал будет расти быстрее. Пусть мы сделали разовый вклад в 12 000 рублей на 10 лет. Тогда, даже в самом простом калькуляторе мы сможем подсчитать, что у нас получится с восемью с половиной процентами:

r = 1 + 0.085 = 1.085

Затем умножим r само на себя в 10 раз (это можно сделать, нажимая клавиши: 1.085 x2 x2 * 1.085 = x2 = ). Получим число 2,260983442. Это число умножаем на первоначальный взнос и получаем нашу итоговую сумму на счете: 27131 рублей 80 копеек.

Сравним с простой арифметической прогрессией. Прирост капитала за первый год: 12 000 * 1.085 – 12 000 = 12 000 * 0.085 = 1020 рублей. За 10 лет это составит 10200 рублей. Если сложить прирост с первоначальным взносом, получится всего 22200 рублей. Разница значительная: 4931,80 рублей.

Процентные ставки часто бывают довольно высокими и тогда рост капитала становится фантастическим. Но таков же и риск. И наоборот, очень низкие процентные ставки всегда означают большую надежность. Однако для хорошей прибыли за приемлемое время требуется иметь большой капитал.

Что еще нужно знать о депозитах?

Понятно, что сложный процентный на депозиты – один из самых выгодных вариантов, и, если ваш банк предлагает вам такую возможность, ею определённо стоит воспользоваться. Однако есть и другие факторы, которые следует учитывать, например, тип депозита. Различные депозиты имеют разные условия и разные уровни риска – некоторые сберегательные счета с более высоким риском приносят более высокую доходность, но также имеют больший риск потери денег. С другой стороны, существуют стабильные долгосрочные депозиты, которые гарантируют устойчивый рост и, в принципе, близки к нулевому риску. Прежде чем выбрать сберегательный счет, обязательно ознакомьтесь с нашей статьёй о депозитах, где мы сравниваем депозиты и даем вам несколько советов о том, как выбрать наиболее подходящий депозит.

Как поможет сложный процент в построении капитала?

Самый впечатляющий пример работы сложного процента будет ниже.

Представьте, что базовая сумма у вас совсем мизерная — 1000 рублей. Но вы каждый месяц можете откладывать от зарплаты по 1000 рублей.

Теперь прикинем варианты, какие проценты дают доступные средства сохранения и инвестирования денег в год:

• 5% — государственные облигации, так называемые облигации федерального займа. Это упрощенно, на самом деле суммы может быть побольше.
• 10% — самый щедрый банковский вклад
• 15% — смешанный инвестиционный портфель акций и облигаций
• 20% — такой процент годовых может дать портфель из акций фондовой биржи.

Давайте не будем больше приводить формулы, так как мы уже все подробно рассказали. Теперь просто возьмем итоговые цифры, которые поражают воображение неподготовленного человека.

Как мы видим результаты впечатляющие, суммы растут как снежный ком. Вы все можете проверить по калькулятору или экселю, здесь нет обмана. Вы действительно можете стать миллионером, откладывая всего по 1000 рублей в месяц.

А что если вы сможете откладывать по 10000 рублей? Теперь подрисуйте в таблице везде по нолику и еще раз удивитесь результатам.

Почему в акции инвестировать безопасно? Почему акции непременно будут расти на 20% годовых? Подробная информация о стратегии и ответы на эти вопросы вы получите на нашем вебинаре об индексном инвестировании, а точнее записи этого вебинара.